Упр.15.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (1+i)^20; 3) (3+4i)^4; 5) (1+i)^10/(v3-i)^8.
2) (1/2-v3/2 i)^9; 4) (1-i)^12 (1/2+v3/2 i)^6;

1. $$ (1+i)^{20}=\bigl((1+i)^2\bigr)^{10}=(1+2i+i^2)^{10}=(2i)^{10}=2^{10}i^{10}=1024\cdot i^8\cdot i^2=-1024. $$

2. $$ \left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^9=\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^9 $$
   $$=\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)=-1. $$

3. $$ 3+4i=5\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right), \quad \cos\varphi=\frac35,\quad \sin\varphi=\frac45. $$
   Тогда
   $$ (3+4i)^4=5^4\left(\cos4\varphi+i\sin4\varphi\right)=625\left(\cos\left(4\arccos\frac35\right)+i\sin\left(4\arccos\frac35\right)\right). $$

4. $$ (1-i)^{12}\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^6=\bigl(\sqrt2(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+i\sin(-\tfrac{\pi}{4}))\bigr)^{12}\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)^6 $$
   $$=(\sqrt2)^{12}\left(\cos(-3\pi)+i\sin(-3\pi)\right)\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=-64. $$

5. $$ \frac{(1+i)^{10}}{(\sqrt3-i)^8}=\frac{\bigl((1+i)^2\bigr)^5}{(\sqrt3-i)^8}=\frac{(2i)^5}{(\sqrt3-i)^8}=\frac{32i}{(\sqrt3-i)^8}. $$
   Представим знаменатель в тригонометрической форме:
   $$ \sqrt3-i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right). $$
   Тогда
   $$ (\sqrt3-i)^8=2^8\left(\cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right)\right)=256\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right). $$
   Следовательно,
   $$ \frac{(1+i)^{10}}{(\sqrt3-i)^8}=\frac{32i}{256\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)}=\frac{i}{8\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)}=\frac{\sqrt3-i}{16}. $$

Ответ

1) $$-1024$$; 2) $$-1$$; 3) $$625\left(\cos\left(4\arccos\frac35\right)+i\sin\left(4\arccos\frac35\right)\right)$$; 4) $$-64$$; 5) $$\frac{\sqrt3-i}{16}$$.