Упр.15.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) z=(v2(cos(п/24)+isin(п/24)))^4; 2) z=(-2(cos(п/15)+isin(п/15)))^5.

Подробный ответ

Используем формулу Муавра:

$$\left(r(\cos \varphi+i\sin \varphi)\right)^n=r^n\left(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\right).$$

$$z=\left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{24}+i\sin \frac{\pi}{24}\right)\right)^4.$$
Тогда
$$z=(\sqrt{2})^4\left(\cos \frac{4\pi}{24}+i\sin \frac{4\pi}{24}\right)=4\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$
$$z=\left(-2\left(\cos \frac{\pi}{15}+i\sin \frac{\pi}{15}\right)\right)^5.$$
Представим число $$-2$$ в тригонометрической форме:
$$-2=2\left(\cos \pi+i\sin \pi\right).$$
Тогда
$$z=\left(2\left(\cos \left(\pi+\frac{\pi}{15}\right)+i\sin \left(\pi+\frac{\pi}{15}\right)\right)\right)^5$$
$$=\left(2\left(\cos \frac{16\pi}{15}+i\sin \frac{16\pi}{15}\right)\right)^5$$
$$=2^5\left(\cos \frac{80\pi}{15}+i\sin \frac{80\pi}{15}\right)=32\left(\cos \frac{16\pi}{3}+i\sin \frac{16\pi}{3}\right).$$
Сократим угол, учитывая периодичность тригонометрических функций:
$$\frac{16\pi}{3}=4\pi+\frac{4\pi}{3},$$
поэтому
$$z=32\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right).$$