Упр.15.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z=(2(cos(п/20)+isin(п/20)))^10; 3) z=(cos(1/35)+isin(1/35))^7.
2) z=(v3(cos(п/18)-isin(п/18)))^6;

1. Используем формулу Муавра:

   $$\left(r(\cos \varphi+i\sin \varphi)\right)^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$

   Тогда

   $$z=\left(2\left(\cos \frac{\pi}{20}+i\sin \frac{\pi}{20}\right)\right)^{10}$$

   $$=2^{10}\left(\cos \frac{10\pi}{20}+i\sin \frac{10\pi}{20}\right)$$

   $$=1024\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

2. Представим число в виде тригонометрической формы с отрицательным аргументом:

   $$\cos \frac{\pi}{18}-i\sin \frac{\pi}{18}=\cos\left(-\frac{\pi}{18}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right).$$

   Тогда

   $$z=\left(\sqrt{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{18}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)\right)\right)^6$$

   $$=(\sqrt{3})^6\left(\cos\left(-\frac{6\pi}{18}\right)+i\sin\left(-\frac{6\pi}{18}\right)\right)$$

   $$=27\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

3. Применяем формулу Муавра:

   $$z=\left(\cos \frac{1}{35}+i\sin \frac{1}{35}\right)^7$$

   $$=\cos \frac{7}{35}+i\sin \frac{7}{35}$$

   $$=\cos \frac{1}{5}+i\sin \frac{1}{5}.$$

Ответ

1) $$1024\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)$$

2) $$27\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

3) $$\cos \frac{1}{5}+i\sin \frac{1}{5}$$