Упр.15.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z_1=12(cos(7п/4)+isin(7п/4)), z_2=8(cos(3п/8)+isin(3п/8));
2) z_1=9(cos(5п/6)+isin(5п/6)), z_2=-3(cos(п/3)+isin(п/3));
3) z_1=15(cos(6)+isin(6)), z_2=5(sin(2)+icos(2)).

1. $$z_1=12\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right), \quad z_2=8\left(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{12}{8}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{8}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{8}\right)\right).$$
   Найдём аргумент:
   $$\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{8}=\frac{14\pi}{8}-\frac{3\pi}{8}=\frac{11\pi}{8}.$$
   Поэтому
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{2}\left(\cos \frac{11\pi}{8}+i\sin \frac{11\pi}{8}\right).$$
2. $$z_1=9\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right), \quad z_2=-3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$
   Представим число $z_2$ в тригонометрической форме с положительным модулем:
   $$z_2=3\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{9}{3}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{4\pi}{3}\right)\right).$$
   Получаем
   $$\frac{5\pi}{6}-\frac{4\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}-\frac{8\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}.$$
   Значит,
   $$\frac{z_1}{z_2}=3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-3i.$$
3. $$z_1=15(\cos 6+i\sin 6), \quad z_2=5(\sin 2+i\cos 2).$$
   Запишем $z_2$ в тригонометрической форме:
   $$\sin 2=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right), \quad \cos 2=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\right),$$
   поэтому
   $$z_2=5\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\right)\right).$$
   Тогда
   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{15}{5}\left(\cos\left(6-\left(\frac{\pi}{2}-2\right)\right)+i\sin\left(6-\left(\frac{\pi}{2}-2\right)\right)\right).$$
   Следовательно,
   $$\frac{z_1}{z_2}=3\left(\cos\left(8-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(8-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}\left(\cos \frac{11\pi}{8}+i\sin \frac{11\pi}{8}\right);$$
2) $$-3i;$$
3) $$3\left(\cos\left(8-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(8-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$