Упр.15.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) z_1=8(cos(7п/10)+isin(7п/10)), z_2=2(cos(п/5)+isin(п/5));
2) z_1=6(sin(п/8)+icos(п/8)), z_2=4(cos(3п/16)+isin(3п/16));
3) z_1=-2(cos(2)+isin(2)), z_2=cos(1)+isin(1).

Подробный ответ

$$z_1=8\left(\cos \frac{7\pi}{10}+i\sin \frac{7\pi}{10}\right), \quad z_2=2\left(\cos \frac{\pi}{5}+i\sin \frac{\pi}{5}\right).$$
Для частного комплексных чисел в тригонометрической форме имеем:
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{8}{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{10}-\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{10}-\frac{\pi}{5}\right)\right).$$
$$\frac{z_1}{z_2}=4\left(\cos \frac{5\pi}{10}+i\sin \frac{5\pi}{10}\right)=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=4i.$$
$$z_1=6\left(\sin \frac{\pi}{8}+i\cos \frac{\pi}{8}\right), \quad z_2=4\left(\cos \frac{3\pi}{16}+i\sin \frac{3\pi}{16}\right).$$
Преобразуем $z_1$ к тригонометрической форме:
$$\sin \frac{\pi}{8}=\cos \frac{3\pi}{8}, \quad \cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{3\pi}{8},$$
поэтому
$$z_1=6\left(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8}\right).$$
Тогда
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{6}{4}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{8}-\frac{3\pi}{16}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{8}-\frac{3\pi}{16}\right)\right).$$
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{2}\left(\cos \frac{3\pi}{16}+i\sin \frac{3\pi}{16}\right).$$
$$z_1=-2\left(\cos 2+i\sin 2\right), \quad z_2=\cos 1+i\sin 1.$$
Представим $z_1$ в тригонометрической форме с положительным модулем:
$$-2\left(\cos 2+i\sin 2\right)=2\left(\cos(\pi+2)+i\sin(\pi+2)\right).$$
Тогда
$$\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos\bigl((\pi+2)-1\bigr)+i\sin\bigl((\pi+2)-1\bigr)\right).$$
$$\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos(\pi+1)+i\sin(\pi+1)\right).$$