Упр.15.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.29. На прямой l взяты последовательно точки А, В и С, а на отрезках АВ и АС в различных полуплоскостях относительно прямой l построены равносторонние треугольники ABD и ACN. Докажите, что середины К и L соответственно отрезков DC и BN и точка А являются вершинами равностороннего треугольника.

Подробный ответ

Пусть точки на прямой $$l$$ заданы комплексными числами:

$$A=z_1,\quad B=z_2=az_1,\quad C=z_3=bz_1.$$

Так как треугольники $$ABD$$ и $$ACN$$ равносторонние и построены в различных полуплоскостях, то

$$\overrightarrow{BD}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AN}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AC}.$$

Тогда для точки $$D$$ получаем:

$$
z_d-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_1-az_1),
$$

откуда

$$
z_d=\frac12(a+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{2}(a-1)z_1.
$$

Середина отрезка $$DC$$ имеет координату

$$
z_k=\frac{z_d+z_3}{2}
=\frac14(a+2b+1)z_1+\frac{i\sqrt3}{4}(a-1)z_1.
$$

Аналогично для точки $$N$$:

$$
z_n-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(bz_1-z_1),
$$

следовательно,

$$
z_n=\frac12(b+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{2}(b-1)z_1.
$$

Середина отрезка $$BN$$ имеет координату

$$
z_l=\frac{z_2+z_n}{2}
=\frac14(b+2a+1)z_1-\frac{i\sqrt3}{4}(b-1)z_1.
$$