Упр.15.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.28. На сторонах ВС и АС треугольника АВС во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ВСК и САМ. Найдите угол между прямыми ВМ и АК и докажите, что ВМ=АК.

Подробный ответ

Обозначим точки треугольника комплексными числами: $$A=z_1,\quad B=z_2,\quad C=z_3.$$

Так как треугольники $$BCK$$ и $$CAM$$ равносторонние и построены во внешнюю сторону, то

$$\overrightarrow{AM}=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BK}=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\overrightarrow{BC}.$$

Тогда

$$z_m-z_1=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_3-z_1),$$

откуда

$$z_m=\frac12 z_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1+z_1-\frac12 z_1.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{BM}=z_m-z_2=\frac12 z_3+\frac12 z_1-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1-z_2.$$

Аналогично для точки $$K$$:

$$z_k-z_2=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(z_3-z_2),$$

откуда

$$z_k=\frac12 z_3-\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2+z_2.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AK}=z_k-z_1=\frac12 z_3+\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2-z_1.$$

Найдём отношение векторов:

$$
\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{AK}}
=
\frac{\frac12 z_3+\frac12 z_1-\frac{\sqrt3}{2}iz_3+\frac{\sqrt3}{2}iz_1-z_2}
{\frac12 z_3+\frac12 z_2+\frac{\sqrt3}{2}iz_3-\frac{\sqrt3}{2}iz_2-z_1}
=
-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.
$$

Значит, угол между прямыми $$BM$$ и $$AK$$ равен аргументу этого числа:

$$\cos \alpha=-\frac12,\qquad \sin \alpha=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$\alpha=120^\circ.$$

Так как модуль множителя равен $$1$$, то

$$|BM|=|AK|.$$