Упр.15.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.26. Даны треугольник АВС и произвольная точка О. Пусть точки Р, Q и R — соответственно точки пересечения медиан треугольников АОВ, ВОС и СОА. Докажите, что точка О и точки пересечения медиан треугольников АВС и PQR лежат на одной прямой.

Обозначим радиус-векторы точек $$A,B,C,O$$ через $$z_1,z_2,z_3,z_4$$ соответственно.

Тогда точки пересечения медиан треугольников $$AOB,$$ $$BOC,$$ $$COA$$ имеют радиус-векторы

$$
P=\frac{z_1+z_4+z_2}{3}, \qquad
Q=\frac{z_2+z_4+z_3}{3}, \qquad
R=\frac{z_3+z_4+z_1}{3}.
$$

Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Тогда

$$
M=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.
$$

Найдём точку $$N$$ — точку пересечения медиан треугольника $$PQR$$:

$$
N=\frac{P+Q+R}{3}
=\frac{\frac{z_1+z_2+z_4}{3}+\frac{z_2+z_3+z_4}{3}+\frac{z_3+z_1+z_4}{3}}{3}
=\frac{2z_1+2z_2+2z_3+3z_4}{9}.
$$

Теперь рассмотрим векторы $$\overrightarrow{ON}$$ и $$\overrightarrow{OM}$$:

$$
\overrightarrow{ON}=N-z_4
=\frac{2z_1+2z_2+2z_3+3z_4}{9}-z_4
=\frac{2(z_1+z_2+z_3-3z_4)}{9},
$$

$$
\overrightarrow{OM}=M-z_4
=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}-z_4
=\frac{z_1+z_2+z_3-3z_4}{3}.
$$

Следовательно,

$$
\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\,\overrightarrow{OM}.
$$

Значит, векторы $$\overrightarrow{ON}$$ и $$\overrightarrow{OM}$$ коллинеарны, поэтому точки $$O,$$ $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Точка $$O$$ и точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$PQR$$ лежат на одной прямой.