Упр.15.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.25. В четырёхугольнике ABCD точки М и N — середины сторон АВ и CD соответственно. Точка К — середина отрезка MN. Медианы треугольника BCD пересекаются в точке Р. Докажите, что точки А, К и Р лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D через $$\vec a,\ \vec b,\ \vec c,\ \vec d.$$

Так как M и N — середины сторон $$AB$$ и $$CD,$$ то

$$\vec m=\frac{\vec a+\vec b}{2}, \qquad \vec n=\frac{\vec c+\vec d}{2}.$$

Точка K — середина отрезка $$MN,$$ значит

$$\vec k=\frac{\vec m+\vec n}{2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}{4}.$$

Точка P — точка пересечения медиан треугольника $$BCD,$$ то есть его центр тяжести. Поэтому

$$\vec p=\frac{\vec b+\vec c+\vec d}{3}.$$

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{AP}:$$

$$\overrightarrow{AK}=\vec k-\vec a=\frac{\vec b+\vec c+\vec d-3\vec a}{4},$$

$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\frac{\vec b+\vec c+\vec d-3\vec a}{3}.$$

Получаем