Упр.15.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.24. На доске записаны функции y=x+1/x и y=x^2. Если на доске записаны функции f и g, то разрешается дописать любую из функций y=f^2(x), y=f(x)+g(x), у=f(x)g(x), у=cf(x), где с — произвольная действительная постоянная. Может ли в результате выполнения нескольких таких действий на доске появиться функция y=1/x?

Подробный ответ

Пусть на доске записаны функции $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$ и $$g(x)=x^2.$$

Заметим, что при любых допустимых значениях $$x$$ функция $$f(x)$$ принимает только действительные значения, а $$g(x)$$ тоже всегда действительна.

Проверим, какие значения могут получаться после разрешённых действий:

$$f^2(x)$$ — действительная функция;
$$f(x)+g(x)$$ — действительная функция;
$$f(x)g(x)$$ — действительная функция;
$$cf(x)$$ — действительная функция при любом действительном $$c$$.

Значит, после любого числа таких преобразований на доске будут появляться только действительные функции.

Но функция $$y=\frac{1}{x}$$ не может быть получена из $$y=x+\frac{1}{x}$$ и $$y=x^2$$ указанными действиями, так как для этого пришлось бы «выделить» из суммы $$x+\frac{1}{x}$$ слагаемое $$\frac{1}{x}$$, а разрешённые операции не позволяют вычитать одну функцию из другой.

Следовательно, получить функцию $$y=\frac{1}{x}$$ нельзя.