Упр.15.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.23. Найдите такие натуральные числа x > 18 и y > 18, что x^2+y^2=37·53.

Заметим, что

$$37\cdot 53=(36+1)(49+4)=(6+i)^2(7+2i)^2?$$

Удобнее представить число в виде суммы квадратов:

$$37\cdot 53=(36+1)(49+4)=(6^2+1^2)(7^2+2^2).$$

Используем тождество

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. $$

Тогда при $a=6$, $b=1$, $c=7$, $d=2$ получаем

$$37\cdot 53=(6\cdot 7-1\cdot 2)^2+(6\cdot 2+1\cdot 7)^2=40^2+19^2.$$

Значит, подходят числа $40$ и $19$. Так как по условию $x>18$ и $y>18$, оба числа удовлетворяют условию.

Проверка:

$$19^2+40^2=361+1600=1961,$$

$$37\cdot 53=1961.$$

Ответ

$$x=19,\ y=40$$