Упр.15.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.22. Докажите равенство C(51; 0)-C(51; 2)+C(51; 4)-C(51; 6)+…+C(51; 48)-C(51; 50)=-2^25.

По биному Ньютона:

$$
(1+i)^{51}=C_{51}^0+C_{51}^1i+C_{51}^2i^2+C_{51}^3i^3+\dots+C_{51}^{50}i^{50}+C_{51}^{51}i^{51}.
$$

Так как $$i^2=-1,$$ то члены с чётными степенями $$i$$ дают действительную часть, а с нечётными — мнимую. Поэтому

$$
\operatorname{Re}(1+i)^{51}=C_{51}^0-C_{51}^2+C_{51}^4-C_{51}^6+\dots+C_{51}^{48}-C_{51}^{50}.
$$

С другой стороны, по формуле Муавра:

$$
(1+i)^{51}=(\sqrt2)^{51}\left(\cos\frac{51\pi}{4}+i\sin\frac{51\pi}{4}\right).
$$

Упростим угол:

$$
\frac{51\pi}{4}=12\pi+\frac{3\pi}{4},
$$

значит

$$
\cos\frac{51\pi}{4}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.
$$

Тогда

$$
\operatorname{Re}(1+i)^{51}=(\sqrt2)^{51}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)
=2^{25}\cdot(-1)=-2^{25}.
$$

Следовательно,

$$
C_{51}^0-C_{51}^2+C_{51}^4-C_{51}^6+\dots+C_{51}^{48}-C_{51}^{50}=-2^{25}.
$$

Ответ

$$-2^{25}$$