Упр.15.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.21. Докажите, что sin^100(ф)=1/2^99 (cos(100ф)-C(100; 1)cos(98ф)+C(100; 2)cos(96ф)-…+C(100; 50)).

Положим $$a=\cos\varphi+i\sin\varphi.$$ Тогда

$$\sin\varphi=\frac{a-\overline a}{2i},$$

и потому

$$\sin^{100}\varphi=\left(\frac{a-\overline a}{2i}\right)^{100}=\frac{(a-\overline a)^{100}}{2^{100}i^{100}}=\frac{(a-\overline a)^{100}}{2^{100}}.$$

По формуле бинома Ньютона

$$
(a-\overline a)^{100}
=\sum_{k=0}^{100}(-1)^k C_{100}^k a^{100-k}\overline a^{\,k}.
$$

Так как $$a=\cos\varphi+i\sin\varphi=\mathrm e^{i\varphi},$$ а $$\overline a=\mathrm e^{-i\varphi},$$ то

$$a^{100-k}\overline a^{\,k}=\mathrm e^{i(100-2k)\varphi}=\cos\bigl((100-2k)\varphi\bigr)+i\sin\bigl((100-2k)\varphi\bigr).$$

При суммировании попарно слагаемые с мнимыми частями взаимно уничтожаются, и остаётся

$$
(a-\overline a)^{100}
=2^{100}\left(\cos100\varphi-C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi-\cdots+C_{100}^{50}\right).
$$

Следовательно,

$$
\sin^{100}\varphi
=\frac1{2^{99}}\left(\cos100\varphi-C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi-\cdots+C_{100}^{50}\right).
$$

Ответ

$$\sin^{100}\varphi=\frac1{2^{99}}\left(\cos100\varphi-C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi-\cdots+C_{100}^{50}\right).$$