Упр.15.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.20. Докажите, что cos^100(ф)=1/2^99 (cos(100ф)+C(100; 1)cos(98ф)+C(100; 2)cos(96ф)+…+C(100; 50)).

Положим $$a=\cos\varphi+i\sin\varphi.$$ Тогда

$$\cos\varphi=\frac{a+\overline a}{2}.$$

Возведём это равенство в 100-ю степень:

$$\cos^{100}\varphi=\left(\frac{a+\overline a}{2}\right)^{100}=\frac{1}{2^{100}}(a+\overline a)^{100}.$$

По биному Ньютона

$$
(a+\overline a)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k a^{100-k}\overline a^{\,k}.
$$

Так как $$a=\cos\varphi+i\sin\varphi=\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\varphi},$$ то

$$a^{100-k}\overline a^{\,k}=e^{i(100-2k)\varphi}=\cos((100-2k)\varphi)+i\sin((100-2k)\varphi).$$

Слагаемые с номерами $$k$$ и $$100-k$$ являются сопряжёнными, поэтому при сложении их мнимые части взаимно уничтожаются. В результате остаётся

$$
(a+\overline a)^{100}
=2\left(\cos100\varphi+C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi+\cdots+C_{100}^{50}\cos0\varphi\right).
$$

Так как $$\cos0=\!1,$$ получаем

$$
\cos^{100}\varphi
=\frac{1}{2^{100}}\cdot 2\left(\cos100\varphi+C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi+\cdots+C_{100}^{50}\right).
$$

Следовательно,

$$
\cos^{100}\varphi=\frac{1}{2^{99}}\left(\cos100\varphi+C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi+\cdots+C_{100}^{50}\right).
$$

Ответ

$$\cos^{100}\varphi=\frac{1}{2^{99}}\left(\cos100\varphi+C_{100}^1\cos98\varphi+C_{100}^2\cos96\varphi+\cdots+C_{100}^{50}\right).$$