Упр.15.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) z_1=6(cos(3п/4)+isin(3п/4)), z_2=2(cos(п/4)+isin(п/4));
2) z_1=7(cos(1/3)+isin(1/3)), z_2=3(cos(-1/4)+isin(-1/4));
3) z_1=-3(cos(п/12)+isin(п/12)), z_2=-4(cos(3п/4)+isin(3п/4)).
- $$z_1=6\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right),\quad z_2=2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются модули и складываются аргументы:
$$r=6\cdot 2=12,$$
$$\varphi=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi.$$
$$z=z_1z_2=12(\cos \pi+i\sin \pi)=12(-1+0i)=-12.$$ - $$z_1=7\left(\cos \frac13+i\sin \frac13\right),\quad z_2=3\left(\cos \left(-\frac14\right)+i\sin \left(-\frac14\right)\right)$$
$$r=7\cdot 3=21,$$
$$\varphi=\frac13-\frac14=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}.$$
$$z=z_1z_2=21\left(\cos \frac{1}{12}+i\sin \frac{1}{12}\right).$$ - $$z_1=-3\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right),\quad z_2=-4\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$$
Заменим отрицательные модули положительными, прибавив к аргументу $\pi$:
$$z_1=3\left(\cos \frac{11\pi}{12}+i\sin \frac{11\pi}{12}\right),\quad z_2=4\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right).$$
$$r=3\cdot 4=12,$$
$$\varphi=\frac{11\pi}{12}+\frac{7\pi}{4}=\frac{11\pi+21\pi}{12}=\frac{32\pi}{12}=\frac{8\pi}{3}.$$
$$z=12\left(\cos \frac{8\pi}{3}+i\sin \frac{8\pi}{3}\right)=12\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-6+6i\sqrt3.$$
Ответ
1) $$-12$$; 2) $$21\left(\cos \frac{1}{12}+i\sin \frac{1}{12}\right)$$; 3) $$-6+6i\sqrt3$$.
