Упр.15.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.19. Докажите равенство cos(п/13)+cos(3п/13)+cos(5п/13)+cos(9п/13)+cos(11п/13)=1/2.

Подробный ответ

Обозначим

$$a=\cos \frac{\pi}{13}+i\sin \frac{\pi}{13}.$$

Тогда

$$a^k=\cos \frac{k\pi}{13}+i\sin \frac{k\pi}{13}.$$

Рассмотрим сумму

$$S=a+a^3+a^5+a^7+a^9+a^{11}.$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$a$$ и знаменателем $$a^2$$, поэтому

$$S=\frac{a(a^{12}-1)}{a^2-1}.$$

Так как $$a^{13}=-1$$, то $$a^{12}=-\frac{1}{a}$$, и тогда

$$S=\frac{a\left(-\frac{1}{a}-1\right)}{a^2-1}=-\frac{a+1}{a^2-1}=\frac{1}{1-a}.$$

Подставим $$a=\cos \frac{\pi}{13}+i\sin \frac{\pi}{13}$$:

$$S=\frac{1}{1-\cos \frac{\pi}{13}-i\sin \frac{\pi}{13}}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$S=\frac{1-\cos \frac{\pi}{13}+i\sin \frac{\pi}{13}}{\left(1-\cos \frac{\pi}{13}\right)^2+\sin^2 \frac{\pi}{13}}.$$

Знаменатель упростим:

$$\left(1-\cos \frac{\pi}{13}\right)^2+\sin^2 \frac{\pi}{13}=1-2\cos \frac{\pi}{13}+\cos^2 \frac{\pi}{13}+\sin^2 \frac{\pi}{13}=2-2\cos \frac{\pi}{13}.$$

Значит,

$$S=\frac{1-\cos \frac{\pi}{13}+i\sin \frac{\pi}{13}}{2-2\cos \frac{\pi}{13}}.$$

Теперь рассмотрим действительную часть суммы:

$$\Re S=\frac{1-\cos \frac{\pi}{13}}{2-2\cos \frac{\pi}{13}}=\frac{1}{2}.$$

Но

$$\Re S=\cos \frac{\pi}{13}+\cos \frac{3\pi}{13}+\cos \frac{5\pi}{13}+\cos \frac{7\pi}{13}+\cos \frac{9\pi}{13}+\cos \frac{11\pi}{13}.$$

Следовательно,

$$\cos \frac{\pi}{13}+\cos \frac{3\pi}{13}+\cos \frac{5\pi}{13}+\cos \frac{7\pi}{13}+\cos \frac{9\pi}{13}+\cos \frac{11\pi}{13}=\frac{1}{2}.$$