Упр.15.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.18. Выразите cos(6a) через cos(a) и sin(a).

По формуле Муавра имеем:

$$\left(\cos a+i\sin a\right)^6=\cos 6a+i\sin 6a.$$

Раскроем левую часть по биному Ньютона:

$$\left(\cos a+i\sin a\right)^6=\cos^6 a+6i\cos^5 a\sin a-15\cos^4 a\sin^2 a-20i\cos^3 a\sin^3 a+15\cos^2 a\sin^4 a+6i\cos a\sin^5 a-\sin^6 a.$$

Выделим действительную часть:

$$\cos 6a=\cos^6 a-15\cos^4 a\sin^2 a+15\cos^2 a\sin^4 a-\sin^6 a.$$

Ответ

$$\cos 6a=\cos^6 a-15\cos^4 a\sin^2 a+15\cos^2 a\sin^4 a-\sin^6 a.$$