Упр.15.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.17. Учащийся доказывает «равенство» 1=—1 так: 1=v(-1)^2=(v-1)^2=i^2=-1. В чём состоит ошибка учащегося?

Ошибка ученика состоит в неправильном применении свойства квадратного корня.

Для неотрицательного действительного числа $$a$$ верно:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Поэтому

$$\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1,$$

а не $$-1.$$

Кроме того, переход $$\sqrt{(-1)^2}=\left(\sqrt{-1}\right)^2$$ неверен: выражение $$\sqrt{-1}$$ в множестве действительных чисел не определено, а в комплексных числах квадратный корень из числа имеет два значения.

Следовательно, равенство $$1=-1$$ получить нельзя.

Ответ

Ошибка в том, что свойство $$\sqrt{a^2}=a$$ применено неверно: на самом деле $$\sqrt{a^2}=|a|$$ для действительных $$a$$. Поэтому $$\sqrt{(-1)^2}=1,$$ а не $$-1.$$