Упр.15.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.16. Найдите все такие действительные х и у, что (x+yi)^4=x-yi.

Обозначим $$z=x+yi.$$ Тогда данное равенство можно переписать так:

$$z^4=x-yi.$$

Умножим обе части на $$z$$:

$$z^5=(x-yi)(x+yi)=x^2+y^2.$$

Правая часть — действительное неотрицательное число. Значит, число $$z^5$$ тоже действительное неотрицательное.

Рассмотрим два случая.

1) $$z=0.$$ Тогда

$$x=0,\quad y=0.$$

2) $$z\neq 0.$$ Пусть $$z=re^{i\varphi}$$, где $$r>0.$$ Тогда

$$z^5=r^5e^{i5\varphi}.$$

Так как $$z^5=x^2+y^2\ge 0,$$ то аргумент числа $$z^5$$ равен $$0$$, следовательно,

$$5\varphi=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Кроме того, из равенства модулей получаем

$$r^5=x^2+y^2=r^2.$$

Так как $$r>0,$$ имеем

$$r^3=1,\quad r=1.$$

Значит,

$$z=\cos\frac{2\pi k}{5}+i\sin\frac{2\pi k}{5},\quad k=0,1,2,3,4.$$

Тогда

$$x=\cos\frac{2\pi k}{5},\qquad y=\sin\frac{2\pi k}{5}.$$

Ответ

$$ (x,y)=(0,0) $$

или

$$ x=\cos\frac{2\pi k}{5},\quad y=\sin\frac{2\pi k}{5},\quad k=0,1,2,3,4. $$