Упр.15.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.15. Найдите все такие действительные х и у, что (x+yi)^6=x-yi.

Обозначим $$z=x+yi.$$ Тогда по условию

$$z^6=x-yi.$$

Умножим обе части на $$x+yi=z$$:

$$z^7=(x-yi)(x+yi)=x^2+y^2.$$

Правая часть — действительное неотрицательное число. Значит, число $$z^7$$ тоже действительное неотрицательное.

Рассмотрим два случая.

1) $$x^2+y^2=0.$$ Тогда $$x=0,\ y=0.$$ Проверка: $$0^6=0,$$ условие выполняется.

2) $$x^2+y^2>0.$$ Тогда из равенства $$z^7=x^2+y^2$$ следует, что модуль числа $$z$$ равен $$1$$, так как

$$|z|^7=|z^7|=x^2+y^2=|z|^2,$$

откуда $$|z|=1.$$ Тогда

$$z=\cos\frac{2\pi k}{7}+i\sin\frac{2\pi k}{7},\quad k=0,1,2,3,4,5,6.$$

Но при этом $$z^7=1,$$ а значит

$$x^2+y^2=1.$$

Следовательно, все решения во втором случае задаются числами

$$x=\cos\frac{2\pi k}{7},\qquad y=\sin\frac{2\pi k}{7},\qquad k=0,1,2,3,4,5,6.$$

При $$k=0$$ получаем точку $$\left(1,0\right),$$ которая действительно подходит.

Ответ

$$\left(0,0\right),\ \left(\cos\frac{2\pi k}{7},\ \sin\frac{2\pi k}{7}\right),\ k=0,1,2,3,4,5,6.$$