Упр.15.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 15.14. Пусть e_0, e_1, …, e_(n-1) — корни n-й степени из числа 1. Найдите сумму e_0+e_1+…+e_(n-1).

Корни $$n$$-й степени из числа $$1$$ — это все решения уравнения

$$z^n=1.$$

Они имеют вид

$$e_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}, \quad k=0,1,2,\ldots,n-1.$$

Сумма всех корней равна сумме всех корней многочлена

$$z^n-1=0.$$

По формуле для суммы корней уравнения вида $$z^n-1=0$$ получаем:

$$e_0+e_1+\cdots+e_{n-1}=0.$$

Это также можно увидеть из разложения:

$$z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1),$$

откуда при $$z\neq 1$$ имеем

$$1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}=0.$$

Подставляя все корни $$n$$-й степени из единицы, получаем искомую сумму.

Ответ

$$0$$