Упр.15.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z=-1, n=4; 2) z=1+v3i, n=3; 3) z=1, n=8.

1. $$z=-1,\quad n=4.$$

   Представим число $$-1$$ в тригонометрической форме:

   $$-1=\cos \pi+i\sin \pi.$$

   Тогда корни четвертой степени имеют вид

   $$w_k=\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{4},\quad k=0,1,2,3.$$

   Получаем:

   $$w_0=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},$$
   $$w_1=\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},$$
   $$w_2=\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2},$$
   $$w_3=\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Это вершины квадрата, вписанного в окружность радиуса $$1$$ с центром в начале координат.

2. $$z=1+\sqrt3\,i,\quad n=3.$$

   Найдём модуль и аргумент числа:

   $$r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2,$$

   $$\cos \varphi=\frac{1}{2},\quad \sin \varphi=\frac{\sqrt3}{2},\quad \varphi=\frac{\pi}{3}.$$

   Значит,

   $$z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

   Корни третьей степени:

   $$w_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi/3+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi/3+2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2.$$

   То есть

   $$w_0=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{9}+i\sin \frac{\pi}{9}\right),$$
   $$w_1=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{9}+i\sin \frac{7\pi}{9}\right),$$
   $$w_2=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{9}+i\sin \frac{13\pi}{9}\right).$$

   Эти точки лежат на окружности радиуса $$\sqrt[3]{2}$$ и образуют равносторонний треугольник.

3. $$z=1,\quad n=8.$$

   Запишем число $$1$$ как

   $$1=\cos 0+i\sin 0.$$

   Тогда корни восьмой степени:

   $$w_k=\cos \frac{2\pi k}{8}+i\sin \frac{2\pi k}{8},\quad k=0,1,\dots,7.$$

   Следовательно,

   $$w_k=\cos \frac{\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi k}{4},\quad k=0,1,\dots,7.$$

   Это 8 точек на единичной окружности, расположенные через угол $$\frac{\pi}{4}$$.

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2}{2}\pm i\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}\pm i\frac{\sqrt2}{2}.$$
2) $$\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{9}+i\sin \frac{\pi}{9}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{9}+i\sin \frac{7\pi}{9}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{9}+i\sin \frac{13\pi}{9}\right).$$
3) $$\cos \frac{\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi k}{4},\quad k=0,1,\dots,7.$$