Упр.15.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z=i, n=3; 2) z=1+i, n=4; 3) z=-i, n=6.

1. $$z=i,\quad n=3.$$

   Представим число $$i$$ в тригонометрической форме:

   $$i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}.$$

   Тогда корни третьей степени имеют вид

   $$w_k=\cos \left(\frac{\pi/2+2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi/2+2\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2.$$

   Получаем:

   $$w_0=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},$$

   $$w_1=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},$$

   $$w_2=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i.$$

2. $$z=1+i,\quad n=4.$$

   Запишем число в тригонометрической форме:

   $$1+i=\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда корни четвертой степени:

   $$w_k=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{\pi/4+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi/4+2\pi k}{4}\right),\quad k=0,1,2,3.$$

   То есть

   $$w_k=\sqrt[4]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2}\right)\right),\quad k=0,1,2,3.$$

3. $$z=-i,\quad n=6.$$

   Представим число в тригонометрической форме:

   $$-i=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right).$$

   Тогда корни шестой степени:

   $$w_k=\cos \left(\frac{-\pi/2+2\pi k}{6}\right)+i\sin \left(\frac{-\pi/2+2\pi k}{6}\right),\quad k=0,1,2,3,4,5.$$

   Следовательно,

   $$w_k=\cos \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\quad k=0,1,2,3,4,5.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},\ -\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},\ -i.$$
2) $$\sqrt[4]{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2}\right)\right),\ k=0,1,2,3.$$
3) $$\cos \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\ k=0,1,2,3,4,5.$$