Упр.14.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) Re(1/z)+Im(1/z)=1/2; 2) (1+i)(!z)=(1-i)z.

1) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\frac{1}{z}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}.$$

Из условия получаем:

$$\operatorname{Re}\frac{1}{z}+\operatorname{Im}\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$$

то есть

$$\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{1}{2}.$$

Умножим на $$2(x^2+y^2)$$:

$$2x-2y=x^2+y^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и дополним до квадратов:

$$x^2-2x+y^2+2y=0$$

$$x^2-2x+1+y^2+2y+1=2$$

$$ (x-1)^2+(y+1)^2=2.$$

Это окружность с центром $$ (1,-1) $$ и радиусом $$ \sqrt{2}. $$

2) Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$ Подставим в уравнение:

$$ (1+i)\overline{z}=(1-i)z $$

$$ (1+i)(x-yi)=(1-i)(x+yi). $$

Раскроем скобки:

$$ x-yi+xi+y=x+yi-xi+y.$$

Сравним мнимые части:

$$ 2xi=2yi,$$

откуда

$$ x=y.$$

Значит, искомые числа лежат на прямой $$ y=x. $$

Ответ

1) Окружность $$ (x-1)^2+(y+1)^2=2. $$

2) Прямая $$ y=x. $$