Упр.14.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) фє(0; п); 2) фє(-п; 0).

Найдём модуль числа

$$z=1-\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Имеем

$$
r=\sqrt{(1-\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi}
=\sqrt{1-2\cos\varphi+\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}
=\sqrt{2-2\cos\varphi}.
$$

По формуле $$1-\cos\varphi=2\sin^2\frac{\varphi}{2}$$ получаем

$$
r=\sqrt{4\sin^2\frac{\varphi}{2}}=2\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right|.
$$

1) Если $$\varphi\in(0;\pi),$$ то $$\sin\frac{\varphi}{2}>0,$$ значит

$$r=2\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Кроме того,

$$
1-\cos\varphi=2\sin^2\frac{\varphi}{2}, \qquad
\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}.
$$

Тогда

$$
z=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\sin\frac{\varphi}{2}+i\cos\frac{\varphi}{2}\right).
$$

Так как

$$
\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right), \qquad
\cos\frac{\varphi}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right),
$$

то

$$
z=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+
i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right).
$$

2) Если $$\varphi\in(-\pi;0),$$ то $$\sin\frac{\varphi}{2}<0,$$ значит

$$r=-2\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Тогда

$$
z=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(-\sin\frac{\varphi}{2}-i\cos\frac{\varphi}{2}\right).
$$

Поскольку

$$
-\sin\frac{\varphi}{2}=\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right), \qquad
-\cos\frac{\varphi}{2}=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right),
$$

получаем

$$
z=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+
i\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right).
$$

Ответ

1) $$1-\cos\varphi+i\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right), \quad \varphi\in(0;\pi).$$

2) $$1-\cos\varphi+i\sin\varphi=-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right), \quad \varphi\in(-\pi;0).$$