Упр.14.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) фє(0; п); 2) фє(п; 2п).

Обозначим

$$z=1+\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Найдём модуль:

$$
|z|=\sqrt{(1+\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi}
=\sqrt{1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}
=\sqrt{2+2\cos\varphi}.
$$

Используем формулу

$$2+2\cos\varphi=4\cos^2\frac{\varphi}{2},$$

тогда

$$|z|=2\left|\cos\frac{\varphi}{2}\right|.$$

Теперь рассмотрим два случая.

1. Если $$\varphi\in(0;\pi),$$ то $$\frac{\varphi}{2}\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right),$$ значит $$\cos\frac{\varphi}{2}>0$$ и

   $$\left|\cos\frac{\varphi}{2}\right|=\cos\frac{\varphi}{2}.$$

   Кроме того,

   $$
   1+\cos\varphi=2\cos^2\frac{\varphi}{2}.
   $$

   Тогда

   $$
   z=2\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right).
   $$

2. Если $$\varphi\in(\pi;2\pi),$$ то $$\frac{\varphi}{2}\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right),$$ значит $$\cos\frac{\varphi}{2}<0$$ и

   $$\left|\cos\frac{\varphi}{2}\right|=-\cos\frac{\varphi}{2}.$$

   Также

   $$
   1+\cos\varphi=2\cos^2\frac{\varphi}{2}.
   $$

   Следовательно,

   $$
   z=-2\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\pi+\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\pi+\frac{\varphi}{2}\right)\right).
   $$

Ответ

1) $$1+\cos\varphi+i\sin\varphi=2\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right).$$

2) $$1+\cos\varphi+i\sin\varphi=-2\cos\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\pi+\frac{\varphi}{2}\right)+i\sin\left(\pi+\frac{\varphi}{2}\right)\right).$$