Упр.14.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 2 < |z-1+i| < 3; 3) |z-2| > |z+4i|; 5) |z| > Re(z);
2) |z-2|=|z+4i|; 4) |z|=Im(z); 6) |z-i|=Im(z).
Пусть $$z=x+iy.$$ Тогда
$$2<|z-1+i|<3 \;\Longleftrightarrow\; 2<\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}<3.$$
Возводим в квадрат:
$$4<(x-1)^2+(y+1)^2<9.$$
Это кольцо с центром в точке $$ (1,-1) $$ между окружностями радиусов $$2$$ и $$3$$, границы не входят.
$$|z-2|=|z+4i| \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y+4)^2}.$$
После возведения в квадрат:
$$ (x-2)^2+y^2=x^2+(y+4)^2, $$
$$x^2-4x+4+y^2=x^2+y^2+8y+16, $$
$$8y=-4x-12, $$
$$y=-\frac12x-\frac32.$$
Это прямая — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $$2$$ и $$-4i$$.
$$|z-2|>|z+4i| \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{(x-2)^2+y^2}>\sqrt{x^2+(y+4)^2}.$$
После преобразований получаем:
$$y<-\frac12x-\frac32.$$
Это полуплоскость ниже прямой $$y=-\frac12x-\frac32$$, граница не входит.
$$|z|=\operatorname{Im} z \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x^2+y^2}=y.$$
Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$y\ge 0.$$ Тогда
$$x^2+y^2=y^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2=0 \;\Longleftrightarrow\; x=0.$$
Итак, получаем луч положительной части оси $$Oy$$:
$$x=0,\quad y\ge 0.$$
$$|z|\ge \operatorname{Re} z \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x^2+y^2}\ge x.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2+y^2\ge x^2 \;\Longleftrightarrow\; y^2\ge 0.$$
Это верно при любых $$x$$ и $$y$$, значит подходит вся комплексная плоскость.
$$|z-i|=\operatorname{Im} z \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x^2+(y-1)^2}=y.$$
Следовательно, $$y\ge 0$$, и после возведения в квадрат:
$$x^2+(y-1)^2=y^2,$$
$$x^2+y^2-2y+1=y^2,$$
$$2y=x^2+1,$$
$$y=\frac{x^2+1}{2}.$$
Это парабола с вершиной в точке $$\left(0,\frac12\right).$$
Ответ
1) $$4<(x-1)^2+(y+1)^2<9$$; 2) $$y=-\frac12x-\frac32$$; 3) $$y<-\frac12x-\frac32$$; 4) $$x=0,\ y\ge 0$$; 5) вся комплексная плоскость; 6) $$y=\frac{x^2+1}{2}$$.
