Упр.14.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1 < |z-1-i| < 3; 3) |z-2i| > |z-4|; 5) |z| < Im(z); 2) |z-2i|=|z-4|; 4) |z|=Re(z); 6) |z-1|=Re(z).

1. Пусть $$z=x+yi$$. Тогда

   $$1<|z-1-i|<3$$
   $$1<\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}<3$$
   $$1<(x-1)^2+(y-1)^2<9.$$

   Это кольцо с центром в точке $$\left(1,1\right)$$, внутренней окружностью радиуса $$1$$ и внешней окружностью радиуса $$3$$; обе границы не входят.

2. $$|z-2i|=|z-4|$$
   $$\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}$$
   $$x^2+y^2-4y+4=x^2-8x+16+y^2$$
   $$4y=8x-12$$
   $$y=2x-3.$$

   Это прямая $$y=2x-3$$.

3. $$|z-2i|>|z-4|$$
   $$\sqrt{x^2+(y-2)^2}>\sqrt{(x-4)^2+y^2}$$
   $$x^2+y^2-4y+4>x^2-8x+16+y^2$$
   $$4y<8x-12$$
   $$y<2x-3.$$

   Это полуплоскость ниже прямой $$y=2x-3$$, сама прямая не входит.

4. $$|z|=\operatorname{Re} z$$
   $$\sqrt{x^2+y^2}=x.$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$. Возводим в квадрат:

   $$x^2+y^2=x^2$$
   $$y^2=0$$
   $$y=0.$$

   Следовательно, это луч на оси $$Ox$$ при $$x\ge 0$$.

5. $$|z|\le \operatorname{Im} z$$
   $$\sqrt{x^2+y^2}\le y.$$

   Отсюда $$y\ge 0$$. Возводим в квадрат:

   $$x^2+y^2\le y^2$$
   $$x^2\le 0$$
   $$x=0.$$

   Значит, это луч на оси $$Oy$$ при $$y\ge 0$$.

6. $$|z-1|=\operatorname{Re} z$$
   $$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x.$$

   Необходимо $$x\ge 0$$. Возводим в квадрат:

   $$(x-1)^2+y^2=x^2$$
   $$x^2-2x+1+y^2=x^2$$
   $$2x=y^2+1$$
   $$x=\frac{y^2+1}{2}.$$

   Это парабола, ветви направлены вправо.

Ответ

1) $$1<(x-1)^2+(y-1)^2<9$$;
2) $$y=2x-3$$;
3) $$y<2x-3$$;
4) $$y=0,\ x\ge 0$$;
5) $$x=0,\ y\ge 0$$;
6) $$x=\frac{y^2+1}{2}.$$