Упр.14.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 14.18. На комплексной плоскости изображён треугольник с вершинами A(z_1), B(z_2) и C(z_3). Найдите комплексную координату точки пересечения медиан треугольника АВС.

Подробный ответ

Обозначим через $$C_1$$ середину стороны $$AB$$. Тогда её комплексная координата равна

$$C_1=\frac{z_1+z_2}{2}.$$

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит, на медиане $$CC_1$$ точка пересечения $$O$$ удовлетворяет соотношению

$$CO:OC_1=2:1.$$

Тогда её комплексная координата находится как взвешенное среднее координат точек $$C$$ и $$C_1$$:

$$
z_O=\frac{1\cdot z_3+2\cdot \frac{z_1+z_2}{2}}{1+2}
=\frac{z_3+z_1+z_2}{3}.
$$

Следовательно, комплексная координата точки пересечения медиан треугольника равна

$$\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.$$