Упр.14.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 14.17. На комплексной плоскости отметили точки A(z_1) и B(z_2). Найдите комплексную координату такой точки С отрезка АВ, что АС:СВ=m:n.

Пусть точка C делит отрезок AB в отношении $$AC:CB=m:n.$$ Тогда её комплексная координата находится по формуле деления отрезка:

$$z_C=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$

Проверим через векторную запись. Вектор

$$\overrightarrow{AB}=z_2-z_1.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}=\frac{m(z_2-z_1)}{m+n}.$$

Следовательно,

$$z_C=z_1+\overrightarrow{AC}=z_1+\frac{m(z_2-z_1)}{m+n}=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$

Ответ

$$z_C=\frac{n z_1+m z_2}{m+n}.$$