Упр.14.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 14.14. Докажите, что если ф — аргумент комплексного числа z, то -ф — аргумент комплексного числа z.

Пусть $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$ где $$r=|z|.$$ Тогда число, сопряжённое к нему, имеет вид

$$\overline{z}=r(\cos \varphi-i\sin \varphi).$$

С другой стороны,

$$r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))=r(\cos \varphi-i\sin \varphi)=\overline{z}.$$

Значит, число $$-\varphi$$ является аргументом комплексного числа $$\overline{z}.$$

Ответ

$$-\varphi$$ — аргумент комплексного числа $$\overline{z}.$$