Упр.14.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 7; 3) -2+2i; 5) -1+2i; 7) (3-2i)^2;
2) 4i; 4) v3+i; 6) -3-i; 8) (2+i)/(1+i).

1. $$z=7$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{7^2+0^2}=7,$$
   $$\cos\varphi=\frac{7}{7}=1,\qquad \sin\varphi=\frac{0}{7}=0.$$

   Следовательно,

   $$z=7(\cos 2\pi k+i\sin 2\pi k).$$

2. $$z=4i$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{0^2+4^2}=4,$$
   $$\cos\varphi=0,\qquad \sin\varphi=1.$$

   Следовательно,

   $$z=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

3. $$z=-2+2i$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$
   $$\cos\varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Значит,

   $$z=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$

4. $$z=\sqrt{3}+i$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2,$$
   $$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{1}{2}.$$

   Следовательно,

   $$z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).$$

5. $$z=-1+2i$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5},$$
   $$\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \sin\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt{5}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\qquad \varphi=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).$$

6. $$z=-3-i$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10},$$
   $$\cos\varphi=-\frac{3}{\sqrt{10}},\qquad \sin\varphi=-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt{10}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\qquad \varphi=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right).$$

7. $$(3-2i)^2=9-12i-4=5-12i.$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13,$$
   $$\cos\varphi=\frac{5}{13},\qquad \sin\varphi=-\frac{12}{13}.$$

   Следовательно,

   $$z=13\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\qquad \varphi=\arcsin\left(-\frac{12}{13}\right).$$

8. $$\frac{2+i}{1+i}=\frac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i+i+1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i.$$

   Тогда

   $$r=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2},$$
   $$\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{10}},\qquad \sin\varphi=-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

   Следовательно,

   $$z=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\qquad \varphi=\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right).$$

Ответ

1) $$7(\cos 2\pi k+i\sin 2\pi k)$$;
2) $$4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$;
3) $$2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$;
4) $$2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$;
5) $$\sqrt{5}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \varphi=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$;
6) $$\sqrt{10}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \varphi=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$;
7) $$13\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \varphi=\arcsin\left(-\frac{12}{13}\right)$$;
8) $$\frac{\sqrt{10}}{2}\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\ \varphi=\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$.