Упр.13.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.44. Докажите, что если x+yi=(a+bi)^n, то x^2+y^2=(a^2+b^2)^n.

Пусть $$x+yi=(a+bi)^n.$$

Возьмём модуль обеих частей равенства:

$$|x+yi|=|(a+bi)^n|.$$

По свойству модуля степени комплексного числа имеем:

$$|(a+bi)^n|=|a+bi|^n.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+y^2}=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^n.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2+y^2=(a^2+b^2)^n.$$

Ответ

$$x^2+y^2=(a^2+b^2)^n.$$