Упр.13.43 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.43. Найдите все комплексные числа, которые являются сопряжёнными своему квадрату.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда число, сопряжённое к нему, равно $$\overline{z}=a-bi.$$ По условию

$$\overline{z}=z^2.$$

Тогда

$$a-bi=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2+2abi.$$

Сравним действительные и мнимые части:

$$\begin{cases}
-b=2ab,\\
a=a^2-b^2.
\end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$b(2a+1)=0.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$b=0.$$ Тогда из второго уравнения получаем

$$a=a^2,$$

$$a(a-1)=0,$$

откуда

$$a=0 \text{ или } a=1.$$

Значит, $$z=0$$ или $$z=1.$$

2) $$2a+1=0,$$ то есть $$a=-\frac12.$$ Подставим во второе уравнение:

$$-\frac12=\frac14-b^2,$$

$$b^2=\frac34,$$

$$b=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$z=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i \quad \text{или} \quad z=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ответ

$$0,\;1,\;-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\;-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$