Упр.13.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.42. Найдите значение выражения i+2i^2+3i^3+…+100i^100.

Используем свойства мнимой единицы: $$i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1.$$ Тогда степени $$i$$ повторяются с периодом 4:

$$
i+2i^2+3i^3+4i^4+5i^5+6i^6+7i^7+8i^8+\cdots+100i^{100}
$$
$$
= i-2-3i+4+5i-6-7i+8+\cdots+97i-98-99i+100.
$$

Сгруппируем слагаемые по четыре:

$$
(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+\cdots+(97i-98-99i+100).
$$

Каждая такая группа равна:

$$
(i-2-3i+4)=2-2i.
$$

Всего таких групп $$\frac{100}{4}=25$$, значит

$$
25(2-2i)=50-50i.
$$

Ответ

$$50-50i$$