Упр.13.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.41. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения 1+i+i^2+…+i^n равно 1.

Подробный ответ

Рассмотрим сумму

$$1+i+i^2+\dots+i^n.$$

Степени числа $$i$$ повторяются с периодом 4:

$$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1.$$

Сгруппируем слагаемые по четыре:

$$\left(1+i+i^2+i^3\right)+\left(i^4+i^5+i^6+i^7\right)+\dots$$

Каждая такая четверка равна

$$1+i-1-i=0.$$

Значит, сумма будет равна $$1$$ тогда и только тогда, когда после полного числа четверок останется еще одно слагаемое $$1$$, то есть число слагаемых должно быть кратно 4.

Так как в сумме от $$i^0$$ до $$i^n$$ всего $$n+1$$ слагаемых, получаем:

$$n+1=4k+1,$$

откуда

$$n=4k,$$

где $$k\in \mathbb{N}.$$