Упр.13.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.39. Докажите, что число z^n+(z)^n является действительным для всех zєC.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда

$$\overline{z}=a-bi.$$

Рассмотрим сумму

$$z^n+\overline{z}^n=(a+bi)^n+(a-bi)^n.$$

По формуле бинома Ньютона

$$
(a+bi)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{\,n-k}(bi)^k,\qquad
(a-bi)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{\,n-k}(-bi)^k.
$$

Складывая эти выражения, получаем

$$
z^n+\overline{z}^n
=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{\,n-k}\bigl((bi)^k+(-bi)^k\bigr).
$$

Если $$k$$ нечётно, то

$$ (bi)^k+(-bi)^k=0; $$

если $$k$$ чётно, то

$$ (bi)^k+(-bi)^k=2(bi)^k. $$

Значит, в сумме остаются только чётные степени $$i,$$ а для них

$$i^{2m}=\pm 1,$$

то есть все слагаемые являются действительными числами. Следовательно, число $$z^n+\overline{z}^n$$ действительно.

Итак, для любого $$z\in \mathbb{C}$$ число $$z^n+\overline{z}^n$$ является действительным.

Ответ

$$z^n+\overline{z}^n\in \mathbb{R}$$ для всех $$z\in \mathbb{C}.$$