Упр.13.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.37. Докажите неравенство |z_1-z_2| > ||z_1|-|z_2||.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,\quad z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$|z_1-z_2|^2=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2,$$

а также

$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|^2=\left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}-\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2.$$

Докажем более сильное неравенство

$$|z_1-z_2|^2\ge \bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2.$$

Для этого рассмотрим разность:

$$
\begin{aligned}
&|z_1-z_2|^2-\bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2 \\
&=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2-\left(\sqrt{a_1^2+b_1^2}-\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right)^2 \\
&=a_1^2-2a_1a_2+a_2^2+b_1^2-2b_1b_2+b_2^2 \\
&\quad -\left(a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2-2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\right) \\
&=2\left(\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}-a_1a_2-b_1b_2\right).
\end{aligned}
$$

Остаётся показать, что

$$a_1a_2+b_1b_2\le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$
\begin{aligned}
&(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)-(a_1a_2+b_1b_2)^2 \\
&=a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2a_2^2 \\
&=(a_1b_2-b_1a_2)^2\ge 0.
\end{aligned}
$$

Значит,

$$a_1a_2+b_1b_2\le \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},$$

и потому

$$|z_1-z_2|^2\ge \bigl(|z_1|-|z_2|\bigr)^2.$$

Следовательно,

$$|z_1-z_2|\ge \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|.$$

Ответ: $$|z_1-z_2|\ge \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|.$$