Упр.13.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (z_1+(z_2))/(z_2)^2; 2) (z_1-(z_2))/(!z_1-z_2); 3) (z_1+z_2)^2/z_2.

1. $$z_1+\overline{z_2}=(1-i)+(3-2i)=4-3i,$$

   $$\left(\overline{z_2}\right)^2=(3+2i)^2=9+12i-4=5+12i.$$

   Тогда

   $$
   \frac{z_1+\overline{z_2}}{(\overline{z_2})^2}
   =\frac{4-3i}{5+12i}
   =\frac{(4-3i)(5-12i)}{(5+12i)(5-12i)}
   =\frac{20-48i-15i+36i^2}{25+144}
   =\frac{-16-63i}{169}.
   $$

2. $$z_1-\overline{z_2}=(1-i)-(3-2i)=i-2,$$

   $$\overline{z_1}-z_2=(1+i)-(3+2i)=-2-i.$$

   Тогда

   $$
   \frac{z_1-\overline{z_2}}{\overline{z_1}-z_2}
   =\frac{i-2}{-2-i}
   =\frac{(i-2)(i-2)}{(-2-i)(i-2)}
   =\frac{-1-4i+4}{-1-4}
   =\frac{3-4i}{5}.
   $$

3. $$\overline{z_1}+z_2=(1+i)+(3+2i)=4+3i,$$

   $$
   \frac{(\overline{z_1}+z_2)^2}{z_2}
   =\frac{(4+3i)^2}{3+2i}
   =\frac{16+24i-9}{3+2i}
   =\frac{7+24i}{3+2i}.
   $$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $3-2i$:

   $$
   \frac{7+24i}{3+2i}
   =\frac{(7+24i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}
   =\frac{21-14i+72i+48}{9+4}
   =\frac{69+58i}{13}.
   $$

Ответ

1) $$-\frac{16}{169}-\frac{63}{169}i$$; 2) $$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$; 3) $$\frac{69}{13}+\frac{58}{13}i$$.