Упр.13.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2+5i)(1+i)/(-1+i); 3) (5+i)/(5-i)+(5-i)/(5+i);
2) (4+i)/((-2+3i)(1+2i)); 4) ((1-i^19)/(1+i^17))^15.

1. $$\frac{(2+5i)(1+i)}{-1+i}=\frac{2+2i+5i-5}{-1+i}=\frac{-3+7i}{-1+i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $-1-i$:
   $$\frac{-3+7i}{-1+i}=\frac{(-3+7i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{3+3i-7i+7}{2}=\frac{10-4i}{2}=5-2i.$$

2. $$\frac{4+i}{(-2+3i)(1+2i)}=\frac{4+i}{-2-4i+3i+6}=\frac{4+i}{4-i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $4+i$:
   $$\frac{4+i}{4-i}=\frac{(4+i)^2}{(4-i)(4+i)}=\frac{16+8i+i^2}{16+1}=\frac{15+8i}{17}.$$

3. $$\frac{5+i}{5-i}+\frac{5-i}{5+i}=\frac{(5+i)^2+(5-i)^2}{(5-i)(5+i)}.$$

   $$\frac{25+10i+i^2+25-10i+i^2}{25+1}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}.$$

4. $$\left(\frac{1-i^{19}}{1+i^{17}}\right)^{15}.$$

   Так как $$i^{19}=i^{16}\cdot i^3=-i,$$ а $$i^{17}=i^{16}\cdot i=i,$$ то
   $$\left(\frac{1-i^{19}}{1+i^{17}}\right)^{15}=\left(\frac{1-(-i)}{1+i}\right)^{15}=\left(\frac{1+i}{1+i}\right)^{15}=1.$$

Ответ

1) $$5-2i$$; 2) $$\frac{15}{17}+\frac{8}{17}i$$; 3) $$\frac{12}{13}$$; 4) $$1$$.