Упр.13.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (3-i)(1+3i)/(2-i); 3) 2/(3-i)+2/(3+i); 5) ((1+i^7)/(1-i^5))^9.
2) (4-3i)/((1-i)(2+i)); 4) (1+2i)/(1-2i)+(1-2i)/(1+2i);

Подробный ответ

$$\frac{(3-i)(1+3i)}{2-i}=\frac{3+9i-i-3i^2}{2-i}=\frac{6+8i}{2-i}.$$
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $$2+i$$:
$$\frac{6+8i}{2-i}=\frac{(6+8i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{12+6i+16i+8i^2}{5}=\frac{4+22i}{5}.$$
$$\frac{4-3i}{(1-i)(2+i)}=\frac{4-3i}{2+i-2i-i^2}=\frac{4-3i}{3-i}.$$
Умножим числитель и знаменатель на $$3+i$$:
$$\frac{4-3i}{3-i}=\frac{(4-3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{12+4i-9i-3i^2}{10}=\frac{15-5i}{10}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i.$$
$$\frac{2}{3-i}+\frac{2}{3+i}=\frac{2(3+i)+2(3-i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{6+2i+6-2i}{9+1}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}.$$
$$\frac{1+2i}{1-2i}+\frac{1-2i}{1+2i}=\frac{(1+2i)^2+(1-2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}.$$
Тогда
$$\frac{(1+2i)^2+(1-2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{1+4i-4+1-4i-4}{1+4}=\frac{-6}{5}.$$
$$\left(\frac{1+i^7}{1-i^5}\right)^9=\left(\frac{1-i}{1-i}\right)^9=1.$$
Так как $$i^7=i^3=-i$$ и $$i^5=i$$, то
$$\frac{1+i^7}{1-i^5}=\frac{1-i}{1-i}=1.$$