Упр.13.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) z^2=-i; 2) z^2=15-8i.

Подробный ответ

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда

$$z^2=-i.$$
Имеем
$$
(a+bi)^2=-i
$$
$$
a^2+2abi-b^2=-i
$$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем систему:
$$
\begin{cases}
a^2-b^2=0,\\
2ab=-1.
\end{cases}
$$
Из $$a^2-b^2=0$$ следует $$a=\pm b.$$
Если $$a=b,$$ то $$2a^2=-1,$$ что невозможно для действительного $$a.$$
Значит, $$a=-b.$$ Тогда
$$
2a(-a)=-1 \Rightarrow -2a^2=-1 \Rightarrow a^2=\frac12.
$$
Следовательно,
$$
a=\pm \frac{1}{\sqrt2}, \qquad b=\mp \frac{1}{\sqrt2}.
$$
Отсюда
$$
z=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i \quad \text{или} \quad z=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i.
$$
$$z^2=15-8i.$$
Пусть снова $$z=a+bi.$$ Тогда
$$
(a+bi)^2=15-8i
$$
$$
a^2+2abi-b^2=15-8i.
$$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем
$$
\begin{cases}
a^2-b^2=15,\\
2ab=-8.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения
$$
b=-\frac{4}{a}, \qquad a\ne 0.
$$
Подставим в первое:
$$
a^2-\frac{16}{a^2}=15.
$$
Умножим на $$a^2$$:
$$
a^4-15a^2-16=0.
$$
Обозначим $$t=a^2.$$ Тогда
$$
t^2-15t-16=0.
$$
$$
D=15^2+4\cdot 16=289,
$$
$$
t=\frac{15\pm 17}{2}.
$$
Получаем
$$
t_1=16,\qquad t_2=-1.
$$
Так как $$t=a^2\ge 0,$$ то $$a^2=16,$$ значит $$a=\pm 4.$$ Тогда
$$
b=-\frac{4}{a},
$$
откуда при $$a=4$$ имеем $$b=-1,$$ а при $$a=-4$$ имеем $$b=1.$$
Следовательно,
$$
z=4-i \quad \text{или} \quad z=-4+i.
$$