Упр.13.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z^2=i; 2) z^2=-5+12i.

1. Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b \in \mathbb{R}.$$ Тогда

   $$z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi.$$

   Приравниваем действительную и мнимую части.

   1) Если $$z^2=i,$$ то

   $$a^2-b^2=0,$$

   $$2ab=1.$$

   Из $$a^2=b^2$$ получаем $$b=\pm a.$$ Тогда из $$2ab=1$$ имеем $$2a^2=1,$$ значит

   $$a^2=\frac12,\qquad a=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$

   Если $$b=a,$$ то $$2a^2=1,$$ и

   $$z=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i,\qquad z=-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i.$$

   Если $$b=-a,$$ то

   $$z=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i,\qquad z=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i.$$

2. 2) Если $$z^2=-5+12i,$$ то

   $$a^2-b^2=-5,$$

   $$2ab=12,$$

   откуда $$ab=6.$$ Тогда $$b=\frac{6}{a}.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$a^2-\frac{36}{a^2}=-5.$$

   Умножим на $$a^2$$:

   $$a^4+5a^2-36=0.$$

   Обозначим $$t=a^2.$$ Тогда

   $$t^2+5t-36=0,$$

   $$D=25+144=169,$$

   $$t_1=\frac{-5-13}{2}=-9,\qquad t_2=\frac{-5+13}{2}=4.$$

   Так как $$a^2 \ge 0,$$ то $$a^2=4,$$ значит $$a=\pm 2.$$ Тогда

   $$b=\frac{6}{a}=\pm 3.$$

   Получаем числа

   $$z=2+3i,\qquad z=-2-3i.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i,\ \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i,\ -\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i,\ -\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i.$$

2) $$2+3i,\ -2-3i.$$