Упр.13.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 13.17. Докажите, что для всех zєC число z^2+(z)^2 является действительным.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда сопряжённое число имеет вид $$\overline{z}=a-bi.$$

Вычислим сумму:

$$
z^2+\overline{z}^2=(a+bi)^2+(a-bi)^2.
$$

Раскроем скобки:

$$
(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi-b^2,
$$
$$
(a-bi)^2=a^2-2abi+b^2i^2=a^2-2abi-b^2.
$$

Сложим полученные выражения:

$$
z^2+\overline{z}^2=(a^2+2abi-b^2)+(a^2-2abi-b^2)=2a^2-2b^2.
$$

Получили действительное число, так как $$a,b\in \mathbb{R}.$$

Ответ

$$z^2+\overline{z}^2=2a^2-2b^2\in \mathbb{R}.$$