Упр.13.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z+(!z)=2Re(z); 2) z-(!z)=2i Im(z).

Пусть $$z=\operatorname{Re} z+i\,\operatorname{Im} z.$$ Тогда комплексно-сопряжённое число имеет вид $$\overline{z}=\operatorname{Re} z-i\,\operatorname{Im} z.$$

1) Найдём сумму:

$$
z+\overline{z}=(\operatorname{Re} z+i\,\operatorname{Im} z)+(\operatorname{Re} z-i\,\operatorname{Im} z)=2\operatorname{Re} z.
$$

Следовательно, $$z+\overline{z}=2\operatorname{Re} z.$$

2) Найдём разность:

$$
z-\overline{z}=(\operatorname{Re} z+i\,\operatorname{Im} z)-(\operatorname{Re} z-i\,\operatorname{Im} z)=2i\,\operatorname{Im} z.
$$

Следовательно, $$z-\overline{z}=2i\,\operatorname{Im} z.$$

Ответ

$$z+\overline{z}=2\operatorname{Re} z,\qquad z-\overline{z}=2i\,\operatorname{Im} z.$$