Упр.12.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 12.3. В шаре радиуса R на расстоянии R/2 от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Расположим шар так, чтобы его центр совпадал с началом координат, а плоскость была перпендикулярна оси $$x$$. Тогда сечение шара плоскостью $$x=\frac{R}{2}$$ делит шар на две части.

Уравнение образующей шара в плоскости $$Ox y$$:

$$y=\sqrt{R^2-x^2}.$$

Объём части шара, лежащей слева от плоскости $$x=\frac{R}{2}$$:

$$
V_1=\pi \int\limits_{-R}^{R/2} \left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2\,dx
=\pi \int\limits_{-R}^{R/2} (R^2-x^2)\,dx.
$$

$$
V_1=\pi \left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-R}^{R/2}
=\pi \left(\frac{R^3}{2}-\frac{R^3}{24}+R^3-\frac{R^3}{3}\right)
=\frac{9}{8}\pi R^3.
$$

Объём другой части:

$$
V_2=\pi \int\limits_{R/2}^{R} (R^2-x^2)\,dx
=\pi \left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{R/2}^{R}.
$$

$$
V_2=\pi \left(R^3-\frac{R^3}{3}-\frac{R^3}{2}+\frac{R^3}{24}\right)
=\frac{5}{24}\pi R^3.
$$

Проверка: $$V_1+V_2=\frac{9}{8}\pi R^3+\frac{5}{24}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3,$$ что совпадает с объёмом шара.

Ответ

$$\frac{9}{8}\pi R^3;\ \frac{5}{24}\pi R^3.$$