Упр.12.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) y=v(cos(x)), y=0, x=-п/4, x=п/4;
2) y=x-x^2, y=0;
3) y=vx, y=1, x=2.

Подробный ответ

При вращении вокруг оси абсцисс используем формулу объёма:
$$V=\pi \int_a^b y^2\,dx.$$
Для фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{\cos x},\ y=0,\ x=-\frac{\pi}{4},\ x=\frac{\pi}{4},$$ получаем
$$V=\pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4}(\sqrt{\cos x})^2\,dx=\pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx.$$
$$V=\pi \sin x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\pi\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\pi\sqrt{2}.$$
Для фигуры, ограниченной линиями $$y=x-x^2,\ y=0,$$ найдём точки пересечения:
$$x-x^2=0,$$
$$x(1-x)=0,$$
$$x=0,\quad x=1.$$
Тогда
$$V=\pi \int_0^1 (x-x^2)^2\,dx=\pi \int_0^1 (x^2-2x^3+x^4)\,dx.$$
$$V=\pi \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1
=\pi\left(\frac13-\frac12+\frac15\right)=\frac{\pi}{30}.$$
Для фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},\ y=1,\ x=2,$$ найдём точку пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=1$$:
$$\sqrt{x}=1,$$
$$x=1.$$
Следовательно, объём равен
$$V=\pi \int_1^2 \left((\sqrt{x})^2-1^2\right)\,dx=\pi \int_1^2 (x-1)\,dx.$$
$$V=\pi \left(\frac{x^2}{2}-x\right)\Bigg|_1^2
=\pi\left(\left(2-2\right)-\left(\frac12-1\right)\right)=\frac{\pi}{2}.$$