Упр.12.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2x+1, x=1, x=0, y=0;
2) y=x^2+1, x=1, x=2, y=0;
3) y=vx, x=1, x=4, y=0;
4) y=x^2, y=x;
5) y=1/x, y=0, x=1/2, x=2, y=x.

1. При вращении вокруг оси абсцисс используем формулу объёма:

   $$V=\pi\int_a^b y^2\,dx.$$

   Для фигуры, ограниченной линиями $$y=2x+1,$$ $$x=0,$$ $$x=1,$$ $$y=0,$$ получаем:

   $$V=\pi\int_0^1(2x+1)^2\,dx=\pi\int_0^1(4x^2+4x+1)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(\frac{4x^3}{3}+2x^2+x\right)\Bigg|_0^1=\pi\left(\frac{4}{3}+2+1\right)=\frac{13\pi}{3}.$$

2. Для фигуры, ограниченной линиями $$y=x^2+1,$$ $$x=1,$$ $$x=2,$$ $$y=0,$$ имеем:

   $$V=\pi\int_1^2(x^2+1)^2\,dx=\pi\int_1^2(x^4+2x^2+1)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\Bigg|_1^2$$

   $$V=\pi\left(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2-\frac{1}{5}-\frac{2}{3}-1\right)=\pi\left(\frac{31}{5}+\frac{14}{3}+1\right)=\frac{178\pi}{15}.$$

3. Для фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},$$ $$x=1,$$ $$x=4,$$ $$y=0,$$ получаем:

   $$V=\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_1^4 x\,dx.$$

   $$V=\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_1^4=\pi\left(\frac{16}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{15\pi}{2}.$$

4. Найдём точки пересечения графиков:

   $$x^2=x,$$

   $$x(x-1)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=1.$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится прямая $$y=x,$$ снизу — парабола $$y=x^2.$$ Тогда

   $$V=\pi\int_0^1\bigl(x^2-(x^2)^2\bigr)\,dx=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx.$$

   $$V=\pi\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2\pi}{15}.$$

5. Найдём точки пересечения:

   $$\frac{1}{x}=x,$$

   $$x^2=1,$$

   $$x=\pm1.$$

   На отрезке $$\left[\frac12,1\right]$$ сверху находится $$y=\frac1x,$$ снизу — $$y=x,$$ а на отрезке $$[1,2]$$ сверху — $$y=\frac1x,$$ снизу — ось абсцисс. Поэтому

   $$V=\pi\int_{1/2}^{1}\left(\frac1x\right)^2dx+\pi\int_{1}^{2}x^2\,dx.$$

   $$V=\pi\left(-\frac1x\right)\Bigg|_{1/2}^{1}+\pi\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2}$$

   $$V=\pi\left(-1+2\right)+\pi\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)=\pi+\frac{7\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{13\pi}{3}$$; 2) $$\frac{178\pi}{15}$$; 3) $$\frac{15\pi}{2}$$; 4) $$\frac{2\pi}{15}$$; 5) $$\frac{10\pi}{3}$$.