Упр.11.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.7. Докажите, что криволинейные трапеции, закрашенные на рисунке 11.13, равновелики.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $$y=\frac{6}{x}$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$, равна

$$S=\int\limits_a^b \frac{6}{x}\,dx=6\int\limits_a^b \frac{1}{x}\,dx=6\ln|x|\Big|_a^b=6\ln b-6\ln a=6\ln\frac{b}{a}.$$

1) При $$a=1$$, $$b=2$$ получаем

$$S_1=\int\limits_1^2 \frac{6}{x}\,dx=6\ln 2-6\ln 1=6\ln 2.$$

2) При $$a=3$$, $$b=6$$ получаем

$$S_2=\int\limits_3^6 \frac{6}{x}\,dx=6\ln 6-6\ln 3=6\ln\frac{6}{3}=6\ln 2.$$

Следовательно, $$S_1=S_2$$, значит, закрашенные криволинейные трапеции равновелики.

Ответ

$$S_1=S_2=6\ln 2.$$