Упр.11.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) y=x^2-1,y=0, x=2;
2) y=-x^2-4x, y=0, x=-3, x=-1;
3) y=-8/x, y=0, x=-4, x=-2;
4) y=1/(x+2)^2, y=0, x=-1, x=1;
5) y=v(x+4), y=0, x=-3, x=5;
6) y=(1/3)^x-1, y=0, x=-2, x=-4.

Подробный ответ

$$y=x^2-1,\quad y=0,\quad x=2.$$
Точка пересечения с осью $Ox$:
$$x^2-1=0,\quad x=\pm 1.$$
На отрезке $[1;2]$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{1}^{2}(x^2-1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Bigg|_{1}^{2}=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{4}{3}.$$
$$y=-x^2-4x,\quad y=0,\quad x=-3,\quad x=-1.$$
На отрезке $[-3;-1]$ функция неотрицательна, значит
$$S=\int\limits_{-3}^{-1}(-x^2-4x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2\right)\Bigg|_{-3}^{-1}.$$
$$S=\left(\frac{1}{3}-2\right)-\left(9-18\right)=\frac{22}{3}.$$
$$y=-\frac{8}{x},\quad y=0,\quad x=-4,\quad x=-2.$$
На отрезке $[-4;-2]$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{-4}^{-2}\left(-\frac{8}{x}\right)\,dx=-8\ln|x|\Bigg|_{-4}^{-2}.$$
$$S=-8\ln 2+8\ln 4=8\ln 2.$$
$$y=\frac{1}{(x+2)^2},\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=1.$$
Тогда
$$S=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{(x+2)^2}=-\frac{1}{x+2}\Bigg|_{-1}^{1}.$$
$$S=-\frac{1}{3}+\frac{1}{1}=\frac{2}{3}.$$
$$y=\sqrt{x+4},\quad y=0,\quad x=-3,\quad x=5.$$
На данном отрезке функция неотрицательна, значит
$$S=\int\limits_{-3}^{5}\sqrt{x+4}\,dx=\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}\Bigg|_{-3}^{5}.$$
$$S=\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 27-\frac{2}{3}=\frac{52}{3}.$$
$$y=\left(\frac13\right)^x-1,\quad y=0,\quad x=-2,\quad x=-4.$$
На отрезке $[-4;-2]$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{-4}^{-2}\left(\left(\frac13\right)^x-1\right)\,dx.$$
Так как
$$\int \left(\frac13\right)^x dx=\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln\frac13},$$
то
$$S=\left(\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln\frac13}-x\right)\Bigg|_{-4}^{-2}=\frac{9}{\ln\frac13}+2-\frac{81}{\ln\frac13}-4.$$
Учитывая, что $$\ln\frac13=-\ln 3,$$ получаем
$$S=\frac{72-2\ln 3}{\ln 3}.$$